Goldener Schnitt

Der Goldene Schnitt ist schon etwas Besonderes in unserer Umwelt. Es spielt keine Rolle an welcher Stelle wir mit ihm in Kontakt kommen, wir nehmen den Goldenen Schnitt stets als harmonisch war. Ob sie ihre Komposition danach ausrichten wenn sie ein Foto machen oder ihn für ihr Layout verwenden, im Ergebnis wirkt ihre Arbeit ausgeglichener. Die Wirkung auf uns Menschen ist dabei durchaus bemerkenswert, wenn man bedenkt, dass es sich im Grunde genommen "nur" um ein Verhältnis handelt. Es ist zudem erstaunlich, wie oft dieser in der freien Natur vorkommt. Ganze Systeme sind nach diesem Verhältnis strukturiert.

Aber ganz langsam. Was ist der Goldene Schnitt?

Der Goldene Schnitt beschreibt ein ganzheitliches Teilungsverhältnis, bei dem der größere Teil zum Ganzen im gleichen Verhältnis steht wie der kleinere zum größeren Teil. Mathematisch ausgedrückt beträgt der Wert 1,61803398874... . Diese irrationale Zahl trägt auch den Namen Phi Φ (großes Phi). Euklid von Alexandria hat Phi vermutlich erstmals erwähnt, wobei Phi in dieser Zeit als Goldene Zahl oder Goldener Schnitt bezeichnet wurde.

Goldener Schnitt - Innere Teilung nach Euklid

Mit dieser Methode lässt sich auf geometrischer Basis der Goldene Schnitt umsetzen. Hintergrund der Konstruktion ist eine von Johann Friedrich Lorenz beschrieben Aufgabenstellung von Euklid aus dem Jahre 1781. „Eine gegebne gerade Linie, AB, so zu schneiden, daß das Rectangel aus der Ganzen und Einem der Abschnitte, dem Quadrat des anderen Abschnitts gleich sey.“

Goldener Schnitt - Innere Teilung nach Euklid (vereinfacht)

Die vereinfachte Version der inneren Teilung nach Euklid lässt sich schneller konstruieren. Zuerst wird eine Senkrechte mit der halben Länge von AB gebildet, die von Punkt A ausgeht. Diese definiert den Punkt C. Im zweiten Schritt wird ein Kreis gezeichnet, ausgehend von Punkt C mit dem Radius CB. Verlängert man Punkt A senkrecht bis zum Schnittpunkt des Kreises, erhält man Punkt D. Im letzten Schritt wird Punkt E definiert der die Strecke AB im Goldenen Schnitt teilt. Dafür wird ein zweiter Kreis mit dem Radius AD gezeichnet, der von Punkt A ausgeht.

Goldener Schnitt - Teilung außen

Auch für die äußere Teilung gibt es zahlreiche Beispiele. Das angeführte Beispiel kann man als klassisches Verfahren bezeichnen. Zunächst wird die Strecke AE definiert. Anschließend wird die Länge AE benutzt, um eine Senkrechte von Punkt E zu zeichnen. Der Endpunkt definiert den Punkt C. Der Punkt D wird über die Halbierung der Strecke AB definiert. Es folgt ein Kreis, ausgehend von D mit dem Radius DC. Verlängert man die Strecke AE bis zum Schnittpunkt des Kreises erhält man den Punkt B.

Das Goldene Rechteck.

Das Goldene Rechteck ist eine geometrische Figur, bei dem die Seitenlängen im Verhältnis dem Goldenen Schnitt entsprechen. Interesant bei dieser Figur ist, dass sie sich unendlich verschachteln lässt.

Goldenes Rechteck - Konstruktion

Das Goldene Rechteck ist eine geometrische Figur, bei dem die Seitenlängen im Verhältnis dem Goldenen Schnitt entsprechen. Im ersten Schritt wird ein Quadrat konstruiert. Es spielt keine Rolle welche Maße definiert werden, runde Werte lassen sich aber leichter verarbeiten. Im zweiten Schritt werden zwei parallele Seiten ausgewählt und halbiert. Im folgendem Schritt wird eine Diagonale gebildet die eines der beiden Rechtecke teilt. Die Länge dieser Diagonale definiert den Kreisradius. Für den Kreismittelpunkt wird der Schnittpunkt der halbierten Seitenlänge mit der Diagonale gewählt. Im letzten Schritt werden die halbierten Seiten aus dem ersten Schritt zum Schnittpunkt des Kreises verlängert. Das kann man für den übrigen Punkt gespiegelt wiederholen oder die Figur mit senkrechten Verlängerungen des neuen Punktes vollenden.

Der Goldene Winkel.

Mit der Zahl Φ lässt sich auch der Goldener Winkel definieren. Teilt man einen Kreis im Verhältnis des Goldenen Schnitts erhält man die Werte 222,5° für den größeren Teil, und 137,5° für den kleineren Teil. In der Umwelt spielt der Goldene Winkel eine wichtige Rolle. Viele Pflanzen nutzen den Winkel für die Anordnung der Blätter und Früchte bzw. Samen. Warum? Das Wachstum in diesem Verhältnis verhindert, dass Blätter sich zu stark überdecken können. Das dient der Photosynthese, also der maximalen Lichtausbeute der Pflanze. Denn wenn man den Goldenen Winkel fortführt, etwa im Uhrzeigersinn, bildet er immer neue Punkte die sich nicht überdecken.

Goldener Winkel am Beispiel der Phyllotaxis

Die Phyllotaxis beschäftigt sich vereinfacht gesagt mit der Beobachtung der Anordnung von Blättern bei Pflanzen. An diesem Beispiel wird jede Duplik des Goldenen Winkels skaliert und um 222,5° gedreht. Damit soll das Überlappen der Blätter veranschaulicht werden. Für die Pflanze ist es entscheidend die maximale Lichtausbeute aus ihrer Sturktur zu gewinnen.

Die Goldene Spirale.

Die Goldene Spirale ist eine logarithmische Spirale. Diese Spirale basiert in ihrer Konstruktion auf dem Goldenen Rechteck. Der Radius ändert sich mit jeder 90° Drehung um den Faktor Φ.
Die Spirale wird mittels der verschachtelten goldenen Rechtecke gebildet. In der Natur entspricht zum Beispiel die Nautilus diesem Aufbau.

Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist eine unendliche Aneinanderreihung von Zahlen. Die Reihe bildet sich durch das Addieren der beiden Vorgänger der Reihe. Wir beginnen mit den Zahlen null und eins. Der erste Schritt ist folglich, 0 + 1 = 1, der zweite Schritt ist folglich 1 + 1 = 2. Daraus folgt die Reihe: 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, usw.. Auch die Fibonacci-Folge steht im Zusammenhang mit der Zahl Φ und damit dem Goldenen Schnitt. Der Quotient zweier aufeinander folgender Zahlen der Folge nähert sich der Zahl Φ an. Je höher die Zahlen der Folge ausfallen, desto präziser nähert sich der Quotient der Zahl Φ an.

Am Beispiel (unten) werden die Spiralen anhand der Fibonacci Folge konstruiert (Phyllotaxis). (Vgl. Goldene Spirale)

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